Διευκρινήσεις για την εξεταστέα ύλη στο πρώτο μέρος της Οικονομετρίας ΙΙ

Η ύλη περιλαμβάνει τις έννοιες που απαντώνται στις προηγούμενες αναρτήσεις με τις παρακάτω διευκρινήσεις.

1. Εδώ οι πρώτες 7 σελίδες που αφορούν στο ζήτημα της ασυμπτωτικής σφικτότητας είναι εκ΄τος ύλης. 
2. Η ανάρτηση http://sarvanitismscmath.blogspot.com/2011/05/blog-post.html είναι εκτός ύλης.

5o Φροντιστήριο

Εδώ μπορείτε να βρείτε τις σημειώσεις του Γιάννη για το πέμπτο φροντιστήριο.

Μοναδικότητα Βέλτιστης Μήτρας Στάθμισης

Η απόδειξη για την μοναδικότητα της αντίστροφης της ασυμπτωτικής διακύμανσης του διανύσματος των ροπών () ως βέλτιστης ασυμπτωτικής μήτρας στάθμισης όταν δεν ταυτίζονται οι εμπλεκόμενες διαστασεις, μπορεί να προκύψει και ως εξής: Έστω ότι υπάρχει και δεύτερη βέλτιστη W διάφορη της , τότε

1. Επειδή η V θετικά ορισμένη, πρέπει (γιατί;) , και αφού η Α έχει βαθμό k αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν  αν και μόνο αν οι ταυτίζονται ως γραμμικοί μετασχηματισμοί. Αρκεί λοιπόν να υπάρχει έστω ένα στοιχείο y στον l-διάστατο χώρο για το οποίο  προκειμένου να αποδειχθεί η μοναδικότητα. Επομένως αρκεί να βρεθεί  για το οποίο 
2. Αφού οι W και  διάφορες και η Α μη μηδενική τότε υπάρχει  και αυτό που ζητείται παραπάνω προκύπτει από το ότι η Α έχει βαθμό k (γιατί;).

7η Διάλεξη: Μέθοδος των ροπών-Ασυμπτωτική Κατανομή

Στην τελευταία διάλεξη διερευνούμε, χρησιμοποιώντας την ανάλογη θεωρία από τους εκτιμητές ακρότατα, την ασυμπτωτική κατανομή των εκτιμητών της γενικευμένης μεθόδου των ροπών. Παρατηρούμε ότι υπό κατάλληλες υποθέσεις η ασυμπτωτική διακύμανση γενικά εξαρτάται από την μήτρα στάθμισης που δομεί την νόρμα στο ασυμπτωτικό πρόβλημα. Η βέλτιστη επιλογή αποδεικνύεται ότι είναι η αντίστροφη της ασυμπτωτικής διακύμανσης του (κατάλληλα σταθμισμένου) διανύσματος των ροπών. Διερευνούμε τα παραπάνω στα παραδείγματα του εκτιμητή οργανικών μεταβλητών (IVE) και του εκτιμητή Score. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

4ο Φροντιστήριο

Εδώ μπορείτε να βρείτε τις σημειώσεις του Γιάννη για το τέταρτο φροντιστήριο.

6η Διάλεξη: Σχόλιο

Όπως σωστά επισημάνατε η ταύτιση μεταξύ νορμών και θετικά ορισμένων μητρών σε Ευκλείδιο χώρο αφορά στις μήτρες που προκύπτουν με τον γνωστό τρόπο από εσωτερικά γινόμενα. Έχει ενδιαφέρον η διερεύνηση των ασυμπτωτικών ιδιοτήτων (εν προκειμένω το ζήτημα της ασυμπτωτικής κατανομής) για τους εκτιμητές που συζητάμε όταν αυτοί ορίζονται από νόρμες που δεν προκύπτουν έτσι οπότε και είναι δυνατόν οι αντικειμενικές συναρτήσεις να μην είναι παραγωγίσιμες.

6η Διάλεξη: Ήμιπαραμετρικά Υποδείγματα - Μέθοδος των Ροπών

Στα ημιπαραμετρικά υποδείγματα, όταν ο παραμετρικός χώρος είναι πεπερασμένης διάστασης η συνάρτηση πιθανοφάνειας δεν ορίζεται λόγω του μη αμφιμονοσήμαντου της παραμέτρησης. Παρ' όλα αυτά είναι δυνατόν να υπάρχει αρκετή μαθηματική δομή στο υπόδειγμα ώστε να ορίζεται μέσω της αρχής της αναλογίας εκτιμητής που (προσεγγιστικά) ελαχιστοποιεί αντικειμενική συνάρτηση προκύπτουσα από νόρμα κατάλληλης διανυσματικής συνάρτησης που συνοψίζει την παραπάνω δομή. Η τελευταία έχει συχνά την μορφή αριθμητικού μέσου, οπότε και η εν λόγω μεθοδολογία ονομάζεται (γενικευμένη) μέθοδος των ροπών. Εδώ θα βρείτε πρόχειρες σημειώσεις που αφορούν στον ορισμό των ανάλογων εκτιμητών και στην διερεύνηση του ζητήματος της συνέπειας αυτών με εφαρμογή στο παράδειγμα του γραμμικού υποδείγματος με οργανικές μεταβλητές.